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【题目】综合与实践

(问题情境)

在综合与实践课上,同学们以矩形的折叠为主题展开数学活动,如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=4BC=5,点EF分别为边ABAD上的点,且DF=3

(操作发现)

(1)沿CE折叠纸片,B点恰好与F点重合,求AE的长;

(2)如图2,延长EFCD的延长线于点M,请判断CEM的形状,并说明理由。

(深入思考)

(3)把图2置于平面直角坐标系中,如图3,使D点与原点O重合,C点在x轴的负半轴上,将CEM沿CE翻折,使点M落在点M′.连接CM′,求点M′的坐标.

【答案】(1) AE的长为(2)ΔCEM是等腰三角形,理由见解析; (3)M′(-5).

【解析】

1)由矩形的性质得出∠A=90°AD=BC=5,由折叠的性质得:FE=BE,设FE=BE=x,则AE=AB-BE=4-x,求出AF=AD-DF=5-3=2,在RtAEF中,由勾股定理得出方程,解方程即可;
2)由矩形的性质得出ABCD,由平行线的性质得出∠BEC=MCE,由折叠的性质得:∠BEC=CEM,得出∠MCE=CEM,证出MC=ME即可;

3)由平行线得出DFM∽△AFE,得出,解得:DM=,得出ME=MC=CD+DM=,由折叠的性质得:M'E=ME=,得出AM'=M'E+AE=,即可得出答案.

(1)AE=x.BE=4-x

由折叠知:EF=BE=4-x

∵四边形ABCD为矩形

AD=BC=5

AF=AD-DF=5-3=2

RtAEF中,由勾股定理得

AE2+AF2=EF2

答:AE的长为

(2)ΔCEM是等腰三角形,理由如下:

由折叠知:∠BEC=MEC

∵四边形ABCD为矩形

ABCD

∴∠BEC=MCE

∴∠MEC=MCE

ME=MC

ΔCEM是等腰三角形

(3)由折叠知:M′E=MEM′C=MC

(2)得:ME=MC

M′E=ME=MC=M′C

∴四边形M′CME是菱形.

由题知:E(-5)F(03)

设直线EF的解析式为y=kx+b

y=0

M(0)

0M=

CM=4+=

M′E=MC=

M′A=M′E+EA=+=

.M′(-5).

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