Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC=2，点D在AC边上，且AD=BD=BC，则cosA的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

Answer 1

分析 设AD=x，则BC=BD=AD=x、CD=2-x，证△ABC∽△BDC，根据$\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{BC}$得关于x的方程，解方程可得x的值即AD的长，过点D作DE⊥AB于点E得AE=1，由余弦定义可得cosA的值．

解答 解：∵AB=AC=2，BC=BD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴$\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{BC}$，
设AD=x，则BC=BD=AD=x，CD=2-x，
则$\frac{x}{2-x}=\frac{2}{x}$，即x2+2x-4=0，
解得：x=-1-$\sqrt{5}$（舍）或x=-1+$\sqrt{5}$，
过点D作DE⊥AB于点E，

∵AD=BD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴cosA=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义，构建直角三角形求所需线段的长是解题的出发点，熟练掌握相似判定与性质是关键．