Question

14．在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线．
（1）如图1，点D在BC边上，$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，AD与BE相交于点P，则$\frac{AP}{PD}$的值为$\frac{3}{2}$；
（2）如图2，点D在BC的延长线上，BE的延长线与AD交于点P，DC：BC：AC=1：2：3．
①求$\frac{AP}{PD}$的值；
②若CD=2，则BP=6．

Answer 1

分析 （1）作DF∥AC交BE于F，得到$\frac{DF}{CE}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，根据BE是AC边上的中线得到答案；
（2）①作CH∥AD交BP于H，证明CH=AP，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{CH}{PD}$=$\frac{BC}{BD}$，计算得到答案；
②根据题意求出BC、AC、EC的长，设HE=EP=x，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{BH}{BP}$=$\frac{BC}{BD}$，代入计算即可．

解答 解：（1）如图1，作DF∥AC交BE于F，
∴$\frac{DF}{CE}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AP}{PD}$=$\frac{AE}{DF}$=$\frac{CE}{DF}$=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$；
（2）①如图2，作CH∥AD交BP于H，
∴$\frac{CH}{AP}$=$\frac{CE}{AE}$，又AE=EC，
∴CH=AP，
∵CH∥AD，
∴$\frac{CH}{PD}$=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AP}{PD}$=$\frac{2}{3}$；
②∵DC：BC：AC=1：2：3，CD=2，
∴BC=4，AC=6，EC=$\frac{1}{2}$AC=3，
由勾股定理得，BE=5，
∵CH∥AD，AE=EC，∴HE=EP，
设HE=EP=x，则BH=5-x，BP=5+x，
∵CH∥AD，
∴$\frac{BH}{BP}$=$\frac{BC}{BD}$，即$\frac{5-x}{5+x}$=$\frac{2}{3}$，
解得x=1，
则BP=5+x=6．

点评 本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理是解题的关键．