Question

【题目】如图，已知二次函数L：y＝mx2+2mx+k（其中m，k是常数，k为正整数）．

（1）若L经过点（1，k+6），求m的值．

（2）当m＝2，若L与x轴有公共点时且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；

（3）在（2）的条件下将L：y＝mx2+2mx+k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；

（4）将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝x+b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）m＝2，（2）k＝2；（3）y＝2x2+4x﹣6；；（4）﹣＜b＜或b＞．

【解析】

（1）将点（1，k+6）代入y＝mx2+2mx+k，即可求解；

（2）由题意得：△＝16﹣8k≥0，即可求解；

（3）根据平移的公式即可求解；

（4）确定点H、A、B三个临界点，求出临界点时b的值，即可求解．

解：（1）将点（1，k+6）代入y＝mx2+2mx+k并解得：

m＝2；

（2）y＝mx2+2mx+k＝2x2+4x+k，

由题意得：△＝16﹣8k≥0，解得：k≤2，

∵k为正整数，当k＝1时，方程没有整数解，故舍去，

则k＝2；

（3）在m＝2，k＝2时，y＝2x2+4x+2，向下平移8个单位，

平移后的表达式为：y＝2x2+4x+2﹣8＝2x2+4x﹣6；

（4）由（3）知，M的表达式为：y＝2x2+4x﹣6①，

则翻折后抛物线的表达式为：y′＝﹣2x2﹣4x+6②，

设直线m为：y＝x+b③，

①当直线m与翻折后的图象有一个交点（点H）时，如下图，

联立②③并整理得：2x2+x+b﹣6＝0，

则△＝﹣8（b﹣6）＝0，解得：b＝；

②当直线m过点A（﹣3，0）时，

将点A的坐标代入③式得，0＝×（﹣3）+b，解得：b＝；

③当直线m过点B时，

同理可得：b＝﹣；

故直线y＝x+b与N有两个公共点时，b的取值范围为：﹣＜b＜或b＞．