Question

【题目】如图，已知直线y＝2x+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B，直线y＝2交AB于点C，交y轴于点D，P是直线y＝2上一动点，设P（m，2）．

（1）求直线AB的解析式和点B，点C的坐标；

（2）直接写出m为何值时，△ABP是等腰三角形；

（3）求△ABP的面积（用含m的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）B（0，4），C（﹣1，2）；（2）m＝﹣4或﹣6或2或4；（3）△ABP的面积S＝

【解析】

（1）将点A的坐标代入y＝2x+b可求出b＝4，即可得AB解析式及B点坐标，把y=2代入AB解析式即可得C点坐标；（2）分AB＝AP、AB＝BP、AP＝BP三种情况，分别求解即可；（3）根据△ABP的面积＝PC×OB，即可求解．

（1）将点A（-2，0）代入y＝2x+b得：0＝2×（﹣2）+b，

解得：b＝4，

∴直线AB的表达式为：y＝2x+4，

∵AB与y轴交于B，

∴B（0，4），

当y＝2时，2x+4=2，

解得x＝﹣1，

∴C（﹣1，2）；

（2）点A（﹣2，0）、点B（0，4），点P（m，2），

∴AB2＝20，AP2＝（m+2）2+4，PB2＝m2+4，

①当AB＝AP时，即20＝（m+2）2+4，

解得：m＝2或﹣6，

②当AB＝BP时，即20=m2+4，

解得m＝4或﹣4，

③当AP＝BP时，即（m+2）2+4＝m2+4，

解得：m＝﹣1（与点C重合，舍去），

综上，m＝﹣4或﹣6或2或4；

（3）如图所示，点C（﹣1，2），则PC＝|m+1|，

△ABP的面积S＝PC×BD+PC×OD=PC×OB＝2|m+1|．

当m﹣1时，S＝2m+2，

当m＜﹣1时，S＝﹣2m﹣2，

即△ABP的面积S＝．