Question

10．如图，AB是⊙O的直径，BC为弦，D为$\widehat{AC}$的中点，AC，BD相交于E点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于P点．
（1）求证：∠PAC=2∠CBE；
（2）若PD=m，∠CBE=α，请写出求线段CE长的思路．

Answer 1

分析 （1）如图只要证明∠1+2∠CBE=90°，∠PAB=∠1+∠PAC=90°，即可解决问题．
（2）①连接AD，由D是$\widehat{AC}$的中点，∠2=∠CBE，由∠ACB=∠PAB=90°，得∠P=∠3=∠4，故AP=AE；
②由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°；由AP=AE，得PE=2PD=2m，∠5=$\frac{1}{2}$∠PAC=∠CBE=α，③在Rt△PAD中，由PD=m，∠5=α，可求PA的长④在Rt△PAB中，由PA的长和∠2=α，可求BP的长；由BE=PB-PE可求BE的长；⑤在Rt△BCE中，由BE的长和∠CBE=α，可求CE的长．

解答 （1）证明：∵D为$\widehat{AC}$的中点
∴∠CBA=2∠CBE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠CBA=90°，
∴∠1+2∠CBE=90°，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠PAB=∠1+∠PAC=90°，
∴∠PAC=2∠CBE，

（2）思路：①连接AD，由D是$\widehat{AC}$的中点，∠2=∠CBE，
由∠ACB=∠PAB=90°，得∠P=∠3=∠4，故AP=AE；
②由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°；由AP=AE，
得PE=2PD=2m，∠5=$\frac{1}{2}$∠PAC=∠CBE=α，
③在Rt△PAD中，由PD=m，∠5=α，可求PA的长
④在Rt△PAB中，由PA的长和∠2=α，可求BP的长；
由BE=PB-PE可求BE的长；
⑤在Rt△BCE中，由BE的长和∠CBE=α，可求CE的长．

点评 本题考查切线的性质、同角或等角的余角相等、圆周角定理等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．