Question

如图，O是正方形ABCD的中心，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM，交AB于点N，连接OM、ON．求证：
（1）OM=ON；
（2）OM⊥ON．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）连接AC，BD，易证∠BNC=∠CMD，即可证明△BCN≌△CDM，可得CM=BN，进而可以证明△OCM≌△OBN，即可解题；
（2）根据△OCM≌△OBN，可得∠COM=∠BON，根据∠COM+∠BOM=90°即可解题．

解答：证明：连接AC，BD，

（1）∵∠BCN+∠CMD=90°，∠BCN+∠BNC=90°，
∴∠BNC=∠CMD，
在△BCN和△CDM中，

∠CMD=∠BNC ∠DCM=∠CBN CD=CB

，
∴△BCN≌△CDM（AAS），
∴CM=BN，
在△OCM和△OBN中，

OC=OB ∠OCM=∠OBN CM=BN

，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON；
（2）∵△OCM≌△OBN，
∴∠COM=∠BON，
∵∠COM+∠BOM=90°，
∴∠BON+∠BOM=90°，
∴OM⊥ON．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证△BCN≌△CDM和△OCM≌△OBN是解题的关键．