Question

5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2．在Rt△DEF中，∠EDF=90°，cos∠DEF=$\frac{3}{5}$，EF=10．将△ABC以每秒1个单位的速度沿DF方向移动，移动开始前点A与点D重合．在移动过程中，AC始终与DF重合，当点C、F重合时，运动停止．连接DB，过点C作DB的平行线交线段DE于点P．设△ABC移动时间为t （s），线段DP的长为y．
（1）t为何值时，点P与点E重合？
（2）当CP与线段DE相交时，求证：S_△ADP-S_△ABD=2；
（3）当PA⊥BC时，求线段PA的长．

Answer 1

分析 （1）在Rt△DEF中，DA=t，求得DE=6，当点P与点E重合，连接CE，由于CE∥DB，得到∠BDA=∠ECD，通过△BDA∽△ECD，列比例式$\frac{DA}{DC}$=$\frac{AB}{DE}$，即可得到结果；
（2）通过△BDA∽△PCD，得到$\frac{DA}{DC}$=$\frac{AB}{PD}$，求得PD=$\frac{2t+4}{t}$，根据三角形的面积公式问题可求；
（3）延长PA交BC于G由△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质即可求出结果．

解答 解：（1）在Rt△DEF中，DA=t，
∵cos∠DEF=$\frac{3}{5}$，EF=10，
∴DE=6，
当点P与点E重合，连接CE，
∵CE∥DB，
∴∠BDA=∠ECD，
∵∠BAD=∠EDC=90°，
∴△BDA∽△ECD，
∴$\frac{DA}{DC}$=$\frac{AB}{DE}$，
∴$\frac{t}{2}$=$\frac{t+2}{6}$，
∴t=1；

（2）∵CP∥DB，
∴∠BDA=∠PCD，
∵∠BAD=∠PDC=90°，
∴△BDA∽△PCD，
∴$\frac{DA}{DC}$=$\frac{AB}{PD}$，
∴PD=$\frac{2t+4}{t}$，
∵S_△ADP=$\frac{1}{2}$AD×DP=$\frac{1}{2}$t•$\frac{2t+4}{t}$=t+2，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD×AB=t，
∴S_△ADP-S_△ABD=2；

（3）延长PA交BC于G，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAG=45°，
∴∠DAP=45°，
∴PA=$\sqrt{2}$PD=$\sqrt{2}$AD，
∴PD=AD，
∴t=$\frac{2t+4}{t}$，
∴t=1$+\sqrt{5}$或1-$\sqrt{5}$（不符题意，舍去），
∴PA=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$$+\sqrt{10}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，锐角三角函数，应用了方程方法，借助方程解几何问题是解题的关键．