Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在点左侧)，与轴交于点，连接，将沿所在的直线翻折，得到，连接 ．

(1)点的坐标为 ，点的坐标为 ；

(2)如图1，若点落在抛物线的对称轴上，且在轴上方，求抛物线的解析式．

(3)设的面积为，的面积为，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）；（3）或m=

【解析】

（1）令=0，求出x的值，即可求解；

（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，证明△CPD∽△DQB，则，代入即可求解；

（3）连接OD交BC于点H，则DO⊥BC，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，用含m的式子表示S1,S2,根据得到DM＝-m，进而表示出HN＝DM＝-m根据OC∥HN得到△BOC∽△BNH，得到，求出BN，ON，根据垂直关系得到∠BHN＝∠HON，由正切的定义可知，从而得到关于m的方程，故可求解．

（1）令=0，

解得x1=-1,x2=3

∴A（-1,0），B（3,0）

故答案为：（-1，0）；（3，0）；

（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，

∵∠CDP＋∠DCP＝90°，∠PDC＋∠QDB＝90°，

∴∠QDB＝∠DCP，

∵对称轴x=-，

设：D（1，n）（n＞0），点C（0，3m），

∵∠CPD＝∠BQD＝90°，

∴△CPD∽△DQB，

∴，

其中：CP＝n＋3m，DQ＝31＝2，PD＝1，BQ＝n，CD＝CO=3m，BD＝OB=3，

将以上数值代入比例式得

p>解得n=，m=

故抛物线的表达式为：；

（3）如图2，连接OD交BC于点H，则DO⊥BC，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，

∵OC＝3m，

S1＝S△OBD＝×OB×DM＝DM，

S2＝S△OAC＝×AO×OC=-m，而，

则DM＝-m，

∵H是OD的中点，∴HN＝DM＝-m=OC，

∵OC∥HN

∴△BOC∽△BNH

∴

∴BN＝BO＝，则ON＝3=，

则DO⊥BC，HN⊥OB，

∴∠HON+∠HBO=90°，∠BHN+∠HBO=90°，

则∠BHN＝∠HON，则tan∠BHN＝tan∠HON，

则

∴HN2＝ON×BN＝＝（-m）2，

解得：m＝±．

∴或m=．