Question

如图，△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，BM交CD于点E，且点E为CD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD于点D，DN交BM于点N．
（1）若BC=，求△BDE的周长；
（2）求证：NE－ME=CM．

Answer 1

（1）；（2）完成证明见解析

试题分析：（1）充分利用直角三角形的性质和勾股定理即可得解，在Rt△BDE中，要求周长，求出是BD长是关键，而BD长放在Rt△BCD中即可得解.
（2）想证明NE－ME=CM这样的关系，关键将其放入全等三角形中，用等量代换的关系即可得证，充分利用点E为CD的中点的条件作出辅助线，过D作D作DF⊥BM于点F，或过点D作DF∥CM交BM于点F，或在MB上截取EF，使EF=EM（如第24题解答图1），另外也可过点C作CP∥DN交BM延长线于点P，或过点C作CP∥DN交BM延长线于点P，或延长EM至点P，使EP=EN（如第24题解答图2），利用两次全等三角形，即可得证。
试题解析：
（1）∵∠ABC=45°，CD⊥AB
∴在Rt△BCD中，∠DBC=∠DCB="45°"
∵BC=   ∴BD="CD=2"
∵点E为CD中点
∴DE=CE=CD="1"
∴ 
∴ 
∴△BDE的周长为

（2）（方法一）过点D作DF⊥BM于点F
∵BM⊥AC
∴∠DFE=∠CME=90°
在△DEF和△CEM中

∴△DEF≌△CEM（AAS）
∴DF=CM    FE=ME               
∵ND⊥MD，CD⊥AB
∴∠BDN+∠NDE=∠CDM+∠NDE=90°
∴∠BDN=∠CDM
∵CD⊥AB，BM⊥AC
∴∠BDE=∠CDA="90°"
∠DBE+∠DEB=∠ACD+∠CEM=90° 
∵∠DEB=∠CEM    ∴∠DBE=∠ACD
在△BDN和△CDM中

∴△BDN≌△CDM（ASA）
∴DN=DM  
∴在Rt△DMN中，∠DNM=∠DMN=45°
∴在Rt△DMN中，∠DNM=∠NDF=45°
∴DF="NF"
又∵DF=CM，FE=ME
∴NE=NF+FE=CM+ME
∴NE－ME="CM."
（2）问其他方法：（解法略）
方法二：过点D作DF∥CM交BM于点F
方法三：在MB上截取EF，使EF=EM
方法四：过点C作CP∥DN交BM延长线于点P
方法五：延长EM至点P，使EP=EN