Question

18．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，G为DC延长线上一点，AF⊥BG，垂足为F．AF交CD于E，求证：CD²=DE•DG．

Answer 1

分析 根据∠ACB=90°，CD⊥AB，得到∠CAD=∠BCD，推出Rt△ACD∽Rt△CBD，于是得到CD²=AD•BD，根据AF⊥BG，GD⊥AB，证得∠EDA=∠EFG=∠GDP=90°，推出△BGD∽△ADE，于是得到AD•BD=DG•DE即可得到结论．

解答 证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{CD}$，
∴CD²=AD•BD，
又∵AF⊥BG，GD⊥AB，
∴∠EDA=∠EFG=∠GDB=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠G=∠3，
∴△BGD∽△ADE，
∴$\frac{GD}{AD}$=$\frac{BD}{DE}$，
∴AD•BD=DG•DE
∴CD²=DE•DG．

点评 此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．