Question

从甲、乙两题中选做一题．如果两题都做，只以甲题计分．
题甲：若关于x一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有实数根a，β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设t=

a+β

k

，求t的最小值．
题乙：如图所示，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q．
（1）若

BP

PC

=

1

3

，求

AB

AQ

的值；
（2）若点P为BC边上的任意一点，求证：

BC

BP

-

AB

BQ

=．
我选做的是

 

题．

Answer 1

分析：对甲：（1）由于一元二次方程存在两实根，令△≥0求得k的取值范围；
（2）将α+β换为k的表达式，根据k的取值范围得出t的取值范围，求得最小值．

解答：题甲
解：（1）∵一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有实数根a，β，
∴△≥0，
即4（2-k）²-4（k²+12）≥0，
得k≤-2．
（2）由根与系数的关系得：a+β=-[-2（2-k）]=4-2k，
∴t=

a+β

k

=

4-2k

k

=

4

k

-2，
∵k≤-2，
∴-2≤

4

k

-2＜0，
∴-4≤

4

k

-2＜-2，
即t的最小值为-4．

题乙：
（1）解：∵AB∥CD，∴

BP

PC

=

BQ

CD

=

1

3

，即CD=3BQ，
∴

AB

AQ

=

CD

CD+BQ

=

3BQ

3BQ+BQ

=

3

4

；
（2）证明：四边形ABCD是矩形
∵AB=CD，AB∥DC
∴△DPC∽△QPB
∴

DC

BQ

=

PC

BP

BC

BP

-

AB

BQ

=

BP+PC

BP

-

AB

BQ

=1+

PC

BP

-

DC

BQ

=1
∴

BC

BP

-

AB

BQ

=1．

点评：本题考查了一元二次方程根的判定，另要掌握两根之和、两根之积与系数的关系．