Question

11．如图，△ABC中，BA=BC，BD是三角形的角平分线，DE∥BC交AB于E，下列结论：①∠1=∠3；②DE=$\frac{1}{2}$AB；③S_△ADE=$\frac{1}{4}$S_△ABC．正确的有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 根据等腰三角形三线合一可得∠1=∠2、BD⊥AC且AD=CD，由平行线性质及相似三角形判定得∠2=∠3、△ADE∽△ACB，继而可判断①②③．

解答 解：∵BA=BC，BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，BD⊥AC，且AD=CD，
∵DE∥BC，
∴∠2=∠3，△ADE∽△ACB，
∴∠1=∠3，故①正确；
$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，即DE=$\frac{1}{2}$BC，故②正确；
由△ADE∽△ACB，且$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$可得$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AD}{AC}$）²=$\frac{1}{4}$，
即S_△ADE=$\frac{1}{4}$S_△ABC，故③正确；
故选：D．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质、平行线的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形三线合一与相似三角形的判定与性质是解题的关键．