Question

15．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点M从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动．若M，N分别从A，B点同时出发，设移动时间为t（0＜t＜6），△DMN的面积为S．
（1）求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；
（2）当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=6cm，AD=BC=12cm，△DMN的面积=矩形ABCD的面积-△ADM的面积-△BMN的面积-△CDN的面积，即可得出结果；
（2）证明△BMN∽△CND，得出对应边成比例$\frac{BM}{CN}=\frac{BN}{CD}$，求出t的值，即可得出DMN的面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=6cm，AD=BC=12cm，
∴△DMN的面积=矩形ABCD的面积-△ADM的面积-△BMN的面积-△CDN的面积
=12×6-$\frac{1}{2}$×12×t-$\frac{1}{2}$×2t（6-t）-$\frac{1}{2}$×6×（12-2t）=t²-6t+36，
即s=t²-6t+36；
∵s=t²-6t+36=（t-3）²+27，a=1＞0，
∴S由最小值=27；
（2）当△DMN为直角三角形时，∠MND=90°，
∴∠BNM+∠CND=90°，
∵∠BNM+∠BMN=90°，
∴∠BMN=∠CND，
又∵∠B=∠C，
∴△BMN∽△CND，
∴$\frac{BM}{CN}=\frac{BN}{CD}$，
即$\frac{6-t}{12-2t}=\frac{2t}{6}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$，
∴S=（$\frac{3}{2}$-3）²+27=29$\frac{1}{4}$，
即△DMN的面积为29$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了矩形的性质、二次函数的解析式以及最值、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．