【题目】如图1,已知抛物线与x轴相交于A、B两点(A左B右),与y轴交于点C.其顶点为D.
(1)求点D的坐标和直线BC对应的一次函数关系式;
(2)若正方形PQMN的一边PQ在线段AB上,另两个顶点M、N分别在BC、AC上,试求M、N两点的坐标;
(3)如图1,E是线段BC上的动点,过点E作DE的垂线交BD于点F,求DF的最小值.
(图1) (图2)
【答案】(1),;(2),;(3).
【解析】
(1)将二次函数的解析式化为顶点式即可得点D的坐标;先根据二次函数的解析式可求出B、C的坐标,再利用待定系数法可求出直线BC的一次函数关系式;
(2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式,从而可设点M、N的坐标,再根据正方形的性质(四边相等)列出等式求解即可;
(3)先利用待定系数法求出直线BD的解析式,再设点E、F的坐标,利用待定系数法分别求出直线DE、EF的一次项系数,然后利用列出等式并化简,得出DF的表达式,由此求解即可得.
(1)
则顶点D的坐标为
当时,,解得或
则点A的坐标为,点B的坐标为
当时,,则点C的坐标为
设直线BC对应的一次函数关系式为
将点,代入得:,解得
则直线BC对应的一次函数关系式为;
(2)设直线AC的解析式为
将点,代入得:,解得
则直线AC的解析式为
设点M的坐标为,点N的坐标为
四边形PQMN是正方形,PQ在线段AB上
则有,解得
则点M的坐标为,点N的坐标为;
(3)设直线BD的解析式为
将点,代入得:,解得
则直线BD的解析式为
设点E的坐标为,点F的坐标为,则,
由题意,分以下两种情况:
①当时,则,此时点E恰好在抛物线的对称轴上
点F的纵坐标为2,即,解得
则
②当且时
设直线DE的解析式为
将点,代入得:,解得
设直线EF的解析式为
将点,代入得:,解得
,即
整理得:
则
且
且
对于任意两个正数都有
,即,当且仅当时,等号成立
设(且)
则,当且仅当,即时,等号成立
因此,此时DF的最小值为
又
综上,DF的最小值为.
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【题目】如图,在中,,以为直径的与相交于点E,连接CE.
(1)求证:;
(2)如果的面积为3,求的面积;
(3)如图的角平分线BD交AC于点D,于点交于点F,连接,求证:.
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【题目】文华中学九年级开展征文活动,征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个,九年级每名学生按要求都上交了一份征文,学校为了解选择各种征文主题的学生人数,随机抽取了部分征文进行了调查,根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
(1)将图中的条形统计图和扇形统计图补充完整;
(2)本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是小义、小玉和大力的,若从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流,请用列表或画树状图的方法求小义和小玉同学的征文同时被选中的概率.
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【题目】如图,管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1;
(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少?
(2)小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连结成一根长绳的概率.
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【题目】如图,河旁有一座小山,从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°,测得岸边点D的俯角为45°,现从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC,如果AC是120米,求河宽CD的长?
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【题目】将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1,点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1.
(1)当点A1落在AC上时:
①如图1,若∠CAB=60°,求证:四边形ABD1C为平行四边形;
②如图2,AD1交CB于点O,若∠CAB≠60°,求证:DO=AO;
(2)如图3,当A1D1过点C时,若BC=10,CD=6,直接写出A1A的长.
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【题目】如图在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与反比例函数在第二象限内的图象相交于点.
求直线的解析式;
将直线向下平移个单位后与反比例函数的图象交于点和点与轴交于点求的面积.
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【题目】如图①,直线分别与轴、轴交于点,,抛物线经过,两点,且与轴的另一交点为.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)如图①,点在第三象限内的抛物线上.
①连接,,,当四边形的面积最大时,求点的坐标;
②为轴上一点,当取得最小值时,求点的坐标;
(3)如图②,为轴下方抛物线上任意一点,是抛物线的对称轴与轴的交点,直线,分别交抛物线的对称轴于点,.问:是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
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【题目】如图,在中,,点,分别为,的中点,点在边上,连接,过点作的垂线交于点,垂足为点,且与四边形的周长相等,设,.
(1)求证:;
(2)若,求的值.
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