Question

【题目】如图，在ABCD中，BD⊥BC，∠BDC=60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE上一点，EF=EB，G为BD延长线上一点，BG=AB，连接GE．

（1）若ABCD的面积为9，求AB的长；

（2）求证：AF=GE．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由平行四边形的性质得到AD与BC平行，利用等边三角形的判定可知三角形

ABG为等边三角形，得到三边相等，三角相等且为60°，再由BD垂直于BC，得到两个内

错角都为90°，进而求出∠DAB=30°，在直角三角形ADB中，利用30°所对的直角边等于斜

边的一半表示出BD，进而表示出AD，表示出平行四边形的面积，将表示出的AD，BD，

以及已知面积代入求出AB的长；

（2）连接BF，由AE，BE平分∠BAD、∠DBC，求出∠BAE与∠DBE的度数，利用内角

和定理求出∠AEB=60°，由EF=BE，得到三角形BFE为等边三角形，得到BE=BF，∠FBE=60°，

得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABF与三角形GBE全等，利用全等三角形对应边相

等得到AF=GE即可得证．

（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∵∠BDC=60°，

∴∠ABG=60°，

∵BG=AB，

∴△ABG为等边三角形，

∴AB=AG=BG，∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°，

∵BD⊥BC，

∴∠ADB=∠DBC=90°，

∴∠DAB=∠GAB=30°，

在Rt△ADB中，

∵S平行四边形ABCD=ADBD

∴AB=6，即AG=6；

（2）证明：连接BF，

∵AE、BE分别平分∠BAD、∠DBC，

∴∠BAE=∠BAD=15°，∠DBE=∠DBC=45°，

∴∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，

∴∠AEB=60°，

∵EF=BE，

∴△BFE为等边三角形，

∴BE=BF，∠FBE=60°，

∴∠ABD=∠FBE=60°，

∴∠ABF=∠GBE，

在△ABF和△GBE中，

∴△ABF≌△GBE（SAS），

∴AF=GE．