Question

已知关于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
（2）将x=1代入方程，得到关于k的方程，求出即可，
（3）写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．
解答：解：（1）由题意得△=[-2（k-3）]²-4×（k²-4k-1）≥0
化简得-2k+10≥0，解得k≤5．
（2）将1代入方程，整理得k²-6k+6=0，解这个方程得，．
（3）设方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两个根为x₁，x₂，
根据题意得m=x₁x₂．又由一元二次方程根与系数的关系得x₁x₂=k²-4k-1，
那么m=k²-4k-1=（k-2）²-5，所以，当k=2时m取得最小值-5．
点评：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．