Question

（2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=

1

2

x+

3

2

与直线y=x交于点A，点B在直线y=

1

2

x+

3

2

上，∠BOA=90°．抛物线y=ax²+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直线y=

1

2

x+

3

2

与直线y=x交于点A，列出方程组

y=x y= 1 2 x+ 3 2

，通过解该方程组即可求得点A的坐标；根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=-x，则

y=-x y= 1 2 x+ 3 2

，通过解该方程组来求点B的坐标即可；
（2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式；
（3）如图，作DN⊥x轴于点N．欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可．

解答：解：（1）由直线y=

1

2

x+

3

2

与直线y=x交于点A，得

y=x y= 1 2 x+ 3 2

，
解得，

x=3 y=3

，
∴点A的坐标是（3，3）．
∵∠BOA=90°，
∴OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=-x．
又∵点B在直线y=

1

2

x+

3

2

上，
∴

y=-x y= 1 2 x+ 3 2

，
解得，

x=-1 y=1

，
∴点B的坐标是（-1，1）．
综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）．

（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A，O，B，
∴

9a+3b+c=3 c=0 a-b+c=1

，
解得，

a= 1 2 b=- 1 2 c=0

，
∴该抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

1

2

x，或y=

1

2

（x-

1

2

）²-

1

8

．
∴顶点E的坐标是（

1

2

，-

1

8

）；

（3）OD与CF平行．理由如下：
由（2）知，抛物线的对称轴是x=

1

2

．
∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，
∴C（

1

2

，

1

2

）．
设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（

1

2

，

1

2

）代入，得

-k+b=1 1 2 k+b= 1 2

，
解得，

k=- 1 3 b= 2 3

，
∴直线BC的解析式为y=-

1

3

x+

2

3

．
∵直线BC与抛物线交于点B、D，
∴-

1

3

x+

2

3

=

1

2

x²-

1

2

x，
解得，x₁=

4

3

，x₂=-1．
把x₁=

4

3

代入y=-

1

3

x+

2

3

，得y₁=

2

9

，
∴点D的坐标是（

4

3

，

2

9

）．
如图，作DN⊥x轴于点N．
则tan∠DON=

DN

ON

=

1

6

．
∵FE∥x轴，点E的坐标为（

1

2

，-

1

8

）．
∴点F的纵坐标是-

1

8

．
把y=-

1

8

代入y=

1

2

x+

3

2

，得x=-

13

4

，
∴点F的坐标是（-

13

4

，-

1

8

），
∴EF=

1

2

+

13

4

=

15

4

．
∵CE=

1

2

+

1

8

=

5

8

，
∴tan∠CFE=

CE

EF

=

1

6

，
∴∠CFE=∠DON．
又∵FE∥x轴，
∴∠CMN=∠CFE，
∴∠CMN=∠DON，
∴OD∥CF，即OD与CF平行．

点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点．此题难度较大．