Question

【题目】材料一，在平面里有两点，，若为起点，为终点，则把有方向且有长度的线段叫做向量，记为：，并且可用坐标表示这个向量，表示方法为：

，向量的长度可以表示成

例如：，则，

即所以

材料二：若，，则

若时，则．

根据材料解决下列问题：

已知中，，，

（1）________ ___________

（2）当时，求证：是直角三角形．

（3）若，，求使恒成立的的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）(11,1)，；（2）证明见解析；（3）m<2

【解析】

（1）利用向量的定义和向量的长度的计算公式解答；

（2）利用两点间的距离公式和勾股定理逆定理进行证明；

（3）利用向量的乘法法则求得a、b的值；然后代入不等式，解不等式即可求得m的取值范围．

（1）∵A(3，3)，B(8，4)，

∴AB=(8(3)，43)，即AB=(11，1)，

|AB|=

故答案为：(11，1)；

（2）当x=2时，A(3，3)，B(8，4)，C(2，2)

此时AB2=(38)2+(43)2=122，

AC2=(32)2+[3(2)]2=50，BC2=(28)2+(24)2=72．

得AB2=AC2+BC2

∴△ABC是直角三角形．

（3）∵A(3，3)，B(8，4)，C(x，x)

∴AB=(11，1)，AC=(x+3，x3)，BC=(x8，x4)

∴a=ABAC=11x+33x3=10x+30

b=ACBC=x25x24+x2+7x+12=2x2+2x12

∴a+b=10x+30+2x2+2x12=2x2+12x+18

∴由a+b>m2得到：2x2+12x+18>m2

即：m<2x2+12x+20

∴m<2(x+3)2+2

∵2(x+3)2+22．

∴m<2

∴使a+b>m2恒成立的m的取值范围是：m<2

故答案为：m<2