Question

2．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}＞0$；③ac-b+1=0；④OA•OB=-$\frac{c}{a}$．其中正确结论的序号是①③④．

Answer 1

分析 观察函数图象，根据二次函数图象与系数的关系找出“a＜0，c＞0，-$\frac{b}{2a}$＞0”，再由顶点的纵坐标在x轴上方得出$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞0．①由a＜0，c＞0，-$\frac{b}{2a}$＞0即可得知该结论成立；②由顶点纵坐标大于0即可得出该结论不成立；③由OA=OC，可得出x_A=-c，将点A（-c，0）代入二次函数解析式即可得出该结论成立；④结合根与系数的关系即可得出该结论成立．综上即可得出结论．

解答 解：观察函数图象，发现：
开口向下⇒a＜0；与y轴交点在y轴正半轴⇒c＞0；对称轴在y轴右侧⇒-$\frac{b}{2a}$＞0；顶点在x轴上方⇒$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞0．
①∵a＜0，c＞0，-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，①成立；
②∵$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞0，
∴$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$＜0，②不成立；
③∵OA=OC，
∴x_A=-c，
将点A（-c，0）代入y=ax²+bx+c中，
得：ac²-bc+c=0，即ac-b+1=0，③成立；
④∵OA=-x_A，OB=x_B，x_A•x_B=$\frac{c}{a}$，
∴OA•OB=-$\frac{c}{a}$，④成立．
综上可知：①③④成立．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系以及根与系数的关系，解题的关键是观察函数图象逐条验证四条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图形，利用二次函数图象与系数的关系找出各系数的正负是关键．