Question

4．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象C经过（-5，0），（0，$\frac{5}{2}$），（1，6）三点，直线l的解析式为y=2x-3．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）判断抛物线C与直线l有无交点；
（3）若与直线l平行的直线y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接把点（-5，0），（0，$\frac{5}{2}$），（1，6）代入二次函数y=ax²+bx+c，求出a、b、c的值即可；
（2）把（1）中求出的抛物线的解析式与直线l的解析式y=2x-3组成方程组，再根据一元二次方程根的判别式即可得出结论；
（3）把直线y=2x+m与抛物线C的解析式组成方程组，根据只有一个公共点P可知△=0，求出m的值，故可得出P点坐标即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象抛物线C经过（-5，0），（0，$\frac{5}{2}$），（1，6）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=25a-5b+c}\\{\frac{5}{2}=c}\\{6=a+b+c}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=3}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线C的函数解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²+3x+$\frac{5}{2}$；

（2）∵由（1）得抛物线C的函数解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²+3x+$\frac{5}{2}$，
∴代入y=2x-3得2x-3=x²+3x+$\frac{5}{2}$，
整理得$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{11}{2}$=0，
∵△=1²-4×$\frac{1}{2}$×$\frac{11}{2}$=-10＜0，
∴方程无实数根，即抛物线C与直线l无公共点；

（3）∵与l平行的直线y=2x+m与抛物线G只有一个公共点P，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+3x+\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，消去y得，$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{5}{2}$-m=0①，
∵抛物线C与直线y=2x+m只有一个公共点P，
∴△=1²-4×$\frac{1}{2}$×（$\frac{5}{2}$-m）=0，解得m=2，
把m=2代入方程①得，$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{5}{2}$-2=0，解得x=-1，
把x=-1代入直线y=2x+2得，y=0，
∴P（-1，0）．

点评 本题是二次函数综合题，考查的是待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知一元二次方程的解与△的关系式解答此题的关键．