Question

如图，小明画了一个锐角△ABC，并作出了它的两条高AD和BE，两高相交于点P．小明说图形中共有两对相似三角形，他说的对吗？请你判定一下，如果正确，就其中的一对进行说理．

Answer 1

解：小明的说法不正确，因为图形中存在着四对相似三角形．
它们分别是：△CBE∽△CAD；△AEP∽△ADC；△BDP∽△BCE；△BDP∽△AEP．
证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠CAD=∠CBE，①
∵∠C为△CBE、△CAD的公共角，且∠CDA=∠CEB=90°，
∴△CBE∽△CAD；
∵①，∠AEP=∠BDP=90°，∠APE=∠BPD（对顶角相等），
∴△BDP∽△AEP；
同理由三角相等可证得：△AEP∽△ADC；△BDP∽△BCE．
分析：根据相似三角形的判定，图中共有四对相似三角形：△CBE∽△CAD；△AEP∽△ADC；△BDP∽△BCE；△BDP∽△AEP，所以他的说法不正确．
点评：本题主要考查直角三角形相似的判定，已知一直角相等，只要其余两角相等即可，比较简单．