Question

15．已知△ABC中，BC=2，AB=4，点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位速度向点B匀速运动，同时点F从点C出发沿BC的延长线方向以每秒2单位的速度运动．当E点运动到点B时，点F停止运动，连接EF交AC于点O，设运动时间为t秒．
（1）如图，当AO=OC时，求t的值；
（2）如图，作EH⊥AC于点H，请求出OH的长度；
（3）设线段EF的中点为P，当E点从A运动到B点，请直接写出P点的路径长2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，根据全等得：CD=AE=t，利用平行线分线段成比例定理列式可求得t的值；
（2）如图2，同理作辅助线，得CD=$\frac{t（4-t）}{t+1}$，利用勾股定理求AC=2$\sqrt{5}$，根据同角的三角函数列式：cos∠A=$\frac{AH}{AE}=\frac{AB}{AC}$，得AH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t，证明△DOC∽△EOA，求OA=$\frac{2\sqrt{5}（t+1）}{5}$，从而得：OH=OA-AH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（3）如图3，先画图形确定P点的路径长PP′，根据勾股定理求出即可．

解答 解：（1）如图1，过C作CD∥AB，交EF于D，
∴∠CDO=∠AEO，
∵AO=OC，∠AOE=∠DOC，
∴△AOE≌△COD，
∴AE=CD，
由题意得：AE=t，FC=2t，
∴EB=4-t，FB=2t+2，
∵CD∥EB，
∴$\frac{CD}{EB}=\frac{FC}{FB}$，
∴$\frac{t}{4-t}=\frac{2t}{2+2t}$，
t=$\frac{3}{2}$；

（2）如图2，过C作CD∥AB，交EF于D，
∴$\frac{CD}{BE}=\frac{FC}{FB}$，
∴$\frac{CD}{4-t}=\frac{2t}{2t+2}$，
∴CD=$\frac{t（4-t）}{t+1}$，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△AEH和Rt△ACB中，cos∠A=$\frac{AH}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AH}{t}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
∴AH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t，
∵CD∥AB，
∴△DOC∽△EOA，
∴$\frac{DC}{AE}=\frac{OC}{OA}$，
∴$\frac{\frac{t（4-t）}{t+1}}{t}=\frac{AC-OA}{OA}$，
∴OA=$\frac{2\sqrt{5}（t+1）}{5}$，
∴OH=OA-AH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；

（3）如图3，当E在A处，F在C处时，EF中点为AC中点P′，
当E在B处时，F在BC的延长线上，此时EF中点为P，
∴FC=2AB=8，
∴BF=BC+FC=2+8=10，
∴PF=$\frac{1}{2}$BF=5，
∴PC=FC-PF=8-5=3，
过P′作P′G∥AB，交BC于G，
∴P′G=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴PG=PC+CG=3+1=4，
由勾股定理得：PP′=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
则当E点从A运动到B点，P点的路径长为2$\sqrt{5}$，
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、动点运动问题，此类问题确定动点的路程是关键，并利用数形结合的思想综合解决问题，属于常考题型．