Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若

AC

AB

=

3

5

，求

AF

DF

的值．

Answer 1

分析：（1）连接OD，只需证明OD⊥DE即可；
（2）连接BC，设AC=3k，AB=5k，BC=4k，可证OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=4k，然后通过OD∥AE，利用相似比即可求出

AF

DF

的值．

解答：（1）证明：连接OD，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ADO，
∵∠EAD=∠BAD，
∴∠EAD=∠ADO，
∴OD∥AE，
∴∠AED+∠ODE=180°，
∵DE⊥AC，即∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥AE，
∴∠OGB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∴G为BC的中点，即BG=CG，
又∵

AC

AB

=

3

5

，
∴设AC=3k，AB=5k，根据勾股定理得：BC=

AB2-AC2

=4k，
∴OB=

1

2

AB=

5k

2

，BG=

1

2

BC=2k，
∴OG=

OB2-BG2

=

3k

2

，
∴DG=OD-OG=

5k

2

-

3k

2

=k，
又∵四边形CEDG为矩形，
∴CE=DG=k，
∴AE=AC+CE=3k+k=4k，
而OD∥AE，
∴

AF

FD

=

AE

OD

=

4k

5k 2

=

8

5

．

点评：考查了切线的判定定理，能够综合运用角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．