【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于、两点,以为边在第一象限作正方形沿轴负方向平移个单位长度后,点恰好落在双曲线上,则的值是__________.
【答案】
【解析】
作CE⊥y轴于点E,交双曲线于点G.作DF⊥x轴于点F,易证△OAB≌△FDA≌△BEC,求得A、B的坐标,根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标,从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式,进而求得G的坐标,则a的值即可求解.
作CE⊥y轴于点E,交双曲线于点G.作DF⊥x轴于点F.
在y=3x+3中,令x=0,解得:y=3,即B的坐标是(0,3).
令y=0,解得:x=1,即A的坐标是(1,0).
则OB=3,OA=1.
∵∠BAD=90°,
∴∠BAO+∠DAF=90°,
又∵直角△ABO中,∠BAO+∠OBA=90°,
∴∠DAF=∠OBA,
在△OAB和△FDA中,
∴△OAB≌△FDA(AAS),
同理,△OAB≌△FDA≌△BEC,
∴AF=OB=EC=3,DF=OA=BE=1,
故D的坐标是(4,1),C的坐标是(3,4).代入y=得:k=4,则函数的解析式是:y=.
∴OE=4,
则C的纵坐标是4,把y=4代入y=得:x=1.即G的坐标是(1,4),
∴CG=2.
故答案为:2.
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【题目】如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,﹣2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=﹣1.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在第二象限内,且PE=OD,求△PBE的面积.
(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25m,BD=1.5m,且AB、CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( )
A.2mB.2.5mC.2.4mD.2.1m
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【题目】如图,四边形ABCD为菱形,顶点A、B在x轴上,AB=5,点C在第一象限,且菱形ABCD的面积为20, A坐标为(-2,0),则顶点C的坐标为________.
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【题目】经过点A(4,1)的直线与反比例函数y=的图象交于点A、C,AB⊥y轴,垂足为B,连接BC.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)若△ABC的面积为6,求直线AC的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,点P在双曲线位于第一象限的图象上,若∠PAC=90°,则点P的坐标是 .
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.
①当线段PQ=AB时,求tan∠CED的值;
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,点B的坐标为(1,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE=DE.
①求点P的坐标;
②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若⊙O的半径为3cm,∠C=30°,求图中阴影部分的面积.
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【题目】在平面直角坐标系中,规定:抛物线的伴随直线为.例如:抛物线的伴随直线为,即y=2x﹣1.
(1)在上面规定下,抛物线的顶点坐标为 ,伴随直线为 ,抛物线与其伴随直线的交点坐标为 和 ;
(2)如图,顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A,B(点A在点B的左侧),与x轴交于点C,D.
①若∠CAB=90°,求m的值;
②如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线上的一个动点,△PBC的面积记为S,当S取得最大值时,求m的值.
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