Question

如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．
（1）若AG=AE，证明：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；
（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．

Answer 1

（1）证明：连接AH、AF．
∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠B=90°．
∵ADHG与ABFE都是矩形，
∴DH=AG，AE=BF，
又∵AG=AE，
∴DH=BF．
在Rt△ADH与Rt△ABF中，
∵AD=AB，∠D=∠B=90°，DH=BF，
∴Rt△ADH≌Rt△ABF，
∴AF=AH．

（2）证明：将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM的位置．
在△AMF与△AHF中，
∵AM=AH，AF=AF，
∠MAF=∠MAH-∠FAH=90°-45°=45°=∠FAH，
∴△AMF≌△AHF．
∴MF=HF．
∵MF=MB+BF=HD+BF=AG+AE，
∴AG+AE=FH．

（3）解：设BF=x，GB=y，则FC=1-x，AG=1-y，（0＜x＜1，0＜y＜1）
在Rt△GBF中，GF²=BF²+BG²=x²+y²
∵Rt△GBF的周长为1，
∴BF+BG+GF=x+y+=1
即=1-（x+y）
即x²+y²=1-2（x+y）+（x+y）²
整理得2xy-2x-2y+1=0
∴xy-x-y=-，
∴矩形EPHD的面积S=PH•EP=FC•AG=（1-x）（1-y）=xy-x-y+1=-，
∴矩形EPHD的面积是．
分析：（1）因为AG=AE?BF=DH．AB=AD，∠ABC=∠ADH?△ABF≌△ADH．（SAS）
（2）将△ADH绕点A顺时针旋转90°后，可得△AFH≌△AFM然后可求得结论．
（3）设BF=x，GB=y，根据线段之间的关系利用勾股定理求出xy的值．
点评：本题考查正方形的特殊性质，勾股定理以及正方形中的特殊三角形的应用．