Question

【题目】如图，一次函数y＝k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，P的坐标为（11，0）.

【解析】

（1）根据一次函数y= k1x+b的图象经过A（0，-2），B（1，0）可得到关于b、k1的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x-2求出m的值，由M（3，4）在双曲线y= 上即可求出k的值，进而求出其反比例函数的解析式；

（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论．

解：（1）∵直线y＝k1x+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点

∴，

∴

∴一次函数的表达式为y＝2x﹣2．

∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D

∵S△OBM＝2，

∴ ，

∴

∴n＝4

∴将M（m，4）代入y＝2x﹣2得4＝2m﹣2，

∴m＝3

∵M（3，4）在双曲线 上，

∴ ，

∴k2＝12

∴反比例函数的表达式为

（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，

∵MD⊥BP，

∴∠PMD＝∠MBD＝∠ABO

∴tan∠PMD＝tan∠MBD＝tan∠ABO＝ ＝2

∴在Rt△PDM中， ，

∴PD＝2MD＝8，

∴OP＝OD+PD＝11

∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）