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    3．如图，ABCD是正方形，点G是BC上一动点（不与点B、C重合），DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．
    探究：（1）如图1，点G在边BC上时，猜测AF、EF、BF之间的数量关系，并证明你的结论；
    探究：（2）如图2，点G在BC的延长线上时，（1）中AF、EF、BF之间的数量关系还成立吗？如果成立，不要证明；如果不成立，请写出AF、EF、BF之间的数量关系，并证明；
    再探究：（3）如图3，点G在CB的延长线上，AF、EF、BF之间的数量关系又是怎样？请直接写出结论．

    分析 （1）根据正方形的性质可得DA=AB，然后证明∠BAF=∠ADE，进而可△ADE和△ABF全等，根据全等三角形的性质可得BF=AE，AF=DE，再根据线段的和差关系以及等量代换可得AF-BF=EF；
    （2）首先证明△ADE和△ABF全等，根据全等三角形的性质可得BF=AE，然后可得BF-AF=EF；
    （3）方法同（1）还是说明△ADE和△ABF全等，得出DE=AF，BF=AE，只不过本题的结论是EF=AF+BF．

    解答 解：（1）如图1，AF-BF=EF；
    ∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
    ∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
    ∴∠BAF=∠ADE，
    在△ABF和△DAE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ADE}\\{∠AFB=∠AED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
    ∴△ABF≌△DAE（AAS），
    ∴BF=AE，AF=DE，
    ∴AF-BF=EF．

    （2）如图2，BF-AF=EF；
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴∠BAD=90°，AD=AB，
    ∴∠BAF+∠DAF=90°，
    ∵BF⊥AG，
    ∴∠BAF+∠ABF=90°，
    ∴∠DAF=∠ABF，
    ∵DE⊥AG于E，BF⊥AG于F，
    ∴∠AFB=∠AED=90°，
    在△ADE和△ABF中$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFA}\\{∠DAF=∠ABF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
    ∴△ADE≌△ABF（AAS），
    ∴AE=BF，
    ∵AE-AF=EF，
    ∴BF-AF=EF；

    （3）解：如图3，EF=AF+BF．
    ∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
    ∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
    ∴∠BAF=∠ADE，
    在△ABF和△DAE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ADE}\\{∠AFB=∠DEA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
    ∴△ABF≌△DAE（AAS），
    ∴BF=AE，
    ∴EF=AF+BF．

    点评 此题主要考查了四边形综合题，正方形的性质和垂直的意义，全等三角形的性质和判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．

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