Question

20．如图，正方形ABCD中，E，F为边BC上的点，且BE=CF，连结BD，DE，过点C作CH⊥DE于G，交BD于H，连结FH
（1）若AB=3，BE=1，求CG的长度；
（2）求证：∠DEC=∠HFB．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，得出∠BCD=90°，CD=AB=BC=3，由已知条件BE=CF=1，求出EF=1，CE=2，根据勾股定理得到DE$\sqrt{C{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$，然后根据三角形的面积得到等积式，于是得到结果；
（2）如图，连接AF，由已知条件证得△ABF≌△CDE，得到∠AFB=∠DEC．①连接AH，由△ADH≌△CDH，得到∠DAH=∠DCH．②，根据等角的余角相等得到∠DCH=∠DEC．③由式②③得∠DAH=∠DEC．④由tan∠DEC=$\frac{CD}{CE}$，tan∠DAF=tan（90°-∠BAF）=ctan∠BAF=$\frac{AB}{BF}$，得到∠DAF=∠DEC．⑤由式③⑤得：A，H，F三点共线，由式①得：∠AFB=∠HFB=∠DEC．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
CD=AB=BC=3，
∵BE=CF=1，
∴EF=1，
∴CE=2，
∴DE=$\sqrt{C{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵${S}_{△CDE=}\frac{1}{2}CD•CE=\frac{1}{2}CG•DE$，
∴CG=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$；

（2）如图，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB，∠DCE=∠ABE=90°，
∵BE=CF，
∴BF=CE，
在△ABF 与△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABC=BCD}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE，
∴∠AFB=∠DEC．①
连接AH，
在△ADH 与△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADH=∠CDH=45°}\\{DH=DH}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△CDH，
∴∠DAH=∠DCH．②，
∵∠DCH+∠HCE=90°，∴∠DEC+∠HCE=90°，
∴∠DCH=∠DEC．③
由式②③得∠DAH=∠DEC．④
∵tan∠DEC=$\frac{CD}{CE}$，tan∠DAF=tan（90°-∠BAF）=ctan∠BAF=$\frac{AB}{BF}$，
∴∠DAF=∠DEC．⑤
由式③⑤得：A，H，F三点共线，
由式①得：∠AFB=∠HFB=∠DEC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，三点共线，正确的作出辅助线是解题的关键．