Question

如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q，连接BQ．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当△ADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1：6时，求BQ的长度，并直接写出此时点P在AB上的位置．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的四条边都相等，对角线平分一组对角，可得AB=AD，∠DAQ=∠BAQ，而AQ是△ADQ和△ABQ的公共边，所以两三角形全等；
（2）根据面积之比为1：6，先求出△ADQ的面积为6，过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，即可求出AD边上的高QE的长度为2，所以QF也等于2，再求出BF的长度为4，利用勾股定理即可求出BQ的长度，在△DAP中利用相似三角形对应边成比例即可求出AP的长度为3，所以，点P在AB的中点位置．

解答：（1）证明：在△ADQ和△ABQ中，

AD=AB ∠DAQ=∠BAQ AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）解：∵△ADQ的面积与正方形ABCD面积之比为1：6，正方形面积为6²=36，
∴△ADQ的面积为6，
过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，
∵△ADQ≌△ABQ，
∴QE=QF，
∴

1

2

AD•QE=6，
∴QE=QF=2，
∵∠BAD=∠QEA=∠QFA=90°，
∴四边形AEQF为正方形，
∴AF=QE=2，
∴BF=6-2=4，
在Rt△QBF中，
BQ=

QF2+BF2

=

22+42

=2

5

，
∵△DEQ∽△DAP，
∴

DE

AD

=

EQ

AP

，即

6-2

6

=

2

AP

，
∴AP=3，
∴P在AB的中点位置（或者回答此时AP=3）．

点评：本题综合考查了正方形的边与角平分线的性质，三角形全等的判定，勾股定理的运用以及平行线分线段成比例定理，对同学们能力要求较高．