Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，将三角板中的90°角的顶点绕D点在△ABC内旋转，角的两边分别与AB、AC交于E、F，且点E、F不与A、B、C三点重合．
（1）如果∠A=90°，求证：DE=DF；
（2）如果DF∥AB，则结论：“四边形AEDF为直角梯形”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请画出草图举反例．

Answer 1

分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质可得AD⊥BC，AD=DC，再根据同角的余角相等求出∠ADE=∠CDF，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）不成立，根据平行线的性质求出∠AED=90°，然后证明四边形ADEF是矩形，所以不是梯形．

解答：（1）证明：如图1，连接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=DC，
∴∠EAD=∠C=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵

∠EAD=∠C=45° AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF；

（2）解：结论不成立．
反例如下：如图2，取∠A=90°时，四边形ADEF是矩形，不是直角梯形．
∵DF∥AB，∠EDF=90°，
∴∠AED=180°-90°=90°，
所以，当∠A=90°时，四边形ADEF是矩形，不是直角梯形．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，直角梯形的判定，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．