Question

如图，在矩形OABC中，已知A，C两点的坐标分别为A（4，0），C（0，2），点D是OA的中点；设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC与PD总相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O，P，D三点的抛物线的解析式；
（3）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）证简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△COP≌△DOP即可；已知OC=OD=3，OP=OP，∠COP=∠DOP=45°，由SAS即可得证；
（2）设射线OP与BC的交点为F，易知△COF是等腰直角三角形，则CF=OC=BF=2；过B作OP的垂线，那么此时P、B距离最短，过P作PM⊥BC于M，易证得△BPF也是等腰直角三角形，即可求得PM、FM的长，从而求出点P的坐标，而O、B的坐标已知，即可利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（3）由于矩形的对称中心是对角线的交点，那么它的坐标应该是（2，1）；此题应该分两种情况：
①由于射线交BC于F（2，2），显然F点符合点P的要求，
②当P点在N点下方时，设出点P的坐标，可分别表示出直线CP、DP的斜率，若∠CPN=90°，那么两个斜率的积为-1，可据此求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵点D是OA的中点，
∴OD=OC，
又∵OP是∠COD的角平分线，
∴∠POC=∠POD=45°，
∴△POC≌△POD，故PC=PD；

（2）过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求，
易知点F的坐标为（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=

1

2

BF=1，
∴点P的坐标为（3，3）
由于抛物线经过原点，可设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0）
∴

9a+3b=3 4a+2b=0

，
解得

a=1 b=-2

，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x．

（3）假设存在符合条件的P点．
矩形的对称中心为对角线的交点，故N（2，1）．
①当P点在N点上方时；由（2）知F（2，2），且∠NFC=90°，显然F点符合P点的要求，
故P（2，2）
②当P点在N点下方时；设P（a，a），则：
∵C（0，2），N（2，1）
由勾股定理得，CP²+PN²=CN²，即a²+（a-2）²+（2-a）²+（1-a）²=5，即4a²-10a+4=0
解得a=

1

2

或a=2，
故P（

1

2

，

1

2

）
综上可知：存在点P，使∠CPN=90°，其坐标为（

1

2

，

1

2

）或（2，2）．

点评：此题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、互相垂直的两直线的斜率关系等知识，综合性强，难度较大．