Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①；②△DFP△BPH；③； ④．其中正确的是______．(写出所有正确结论的序号)．

Answer 1

【答案】②③

【解析】

依据∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，即可得到△DFP∽△BPH，，判定△DPH∽△CPD，可得，即PD2=PHCP，再根据CP=CD，即可得出PD2=PHCD；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，即可得出

解：∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，故②正确；

∴

故①不正确；

∵PC=DC，∠DCP=30°，
∴∠CDP=75°，
又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°，
∴∠DHP=∠CDP，而∠DPH=∠CPD，
∴△DPH∽△CPD，
∴ ，即PD2=PHCP，
又∵CP=CD，
∴PD2=PHCD，故③正确；

如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°

故④错误；

故答案为：②③