Question

如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OE⊥AC，垂足为E，过点A作⊙O的切线与BC的延长线交于点D，sinD=

1

2

，OD=20．
（1）求∠ABC的度数； 
（2）连接BE，求线段BE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OA，由于AD是切线，那么∠OAD=90°，而sinD=

1

2

，易知∠D=30°，那么易求∠AOC，再利用外角的性质，可求∠ABC；
（2）根据（1）知，∠D=30°，OD=20，易证△AOC是等边三角形，那么AC=10，在Rt△ABC中，利用∠ABC的正切值可求AB，再在Rt△ABE中，利用勾股定理可求BE．

解答：解：（1）连接OA，

∵AD为⊙O切线，
∴∠OAD=90°，
∵sinD=

1

2

，
∴∠D=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠ABC=

1

2

∠AOC=30°；

（2）

在Rt△OAD中，∠D=30°，OD=20，
∴∠AOD=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=10，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，AB=

AC

tan∠ABC

=10

3

，
在Rt△ABE中，BE=

AB2+AE2

=5

13

．

点评：本题考查了切线的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、勾股定理、等边三角形的判定和性质．解题关键是连接OA，构造直角三角形，并且证明△AOC是等边三角形．