Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在第一象限的抛物线上，P点的横坐标为t，过点P向x轴做垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值；
（3）在（2）的条件下，抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，连接BD，在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠DBE=45°，求E点的坐标．
（参考公式：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），x=-

b

2a

时，y最大（小）值=

4ac-b2

4a

）

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（-1，0）、C（0，4）两点坐标分别代入抛物线的解析式即可求出b和c的值，进而得到抛物线的解析式；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+a，利用已知条件可求出直线的解析式，设P（t，-t²+4t+4），则Q（t，-t+4），所以m=PQ=-t²+4t+4-（-t+4）=-t²+4t=-（t-2）²+4，由二次函数的性质即可求出其最大值；
（3）过点D作DH⊥BC于H，过点E作EF⊥x轴于F，易求D的坐标，设EF=3a，利用勾股定理可得：BF=5a，所以OF=5a-4，进而得到F（4-5a，0），E（4-5a，3a），因为E在抛物线上，所以3a=-（4-5a）²+3（4-5a）+4，解方程即可求出E的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=y=-x²+bx+c经过A（-1，0）、C（0，4）两点，
∴

-1-b+c=0 c=4

，
∴

b=3 c=4

，
∴抛物线的解析式y=y=-x²+3x+4；
（2）令-x²+3x+4=0，解得x=-1或4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+a，
∴

4k+a=0 a=4

，
∴

k=-1 a=4

，
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
设P（t，-t²+4t+4），则Q（t，-t+4），∴m=PQ=-t²+4t+4-（-t+4）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，m的最大值为4；
（3）∵抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，
∴-x²+3x+4=4，解得x=0（舍）或3，
∴D（3，4），
过点D作DH⊥BC于H，过点E作EF⊥x轴于F，
在△CDB中，CD=3，CB=4

2

，∠DCB=45°，
∴CH=DH=

3 2

2

，BH=CB-CH=

5 2

2

，
∵∠DBE=∠CBO=45°，∴∠DBC=∠EBF，
∴tan∠DBC=

DH

HB

=

EF

BF

=

3

5

，
设EF=3a，
∴BF=5a，
∴OF=5a-4，
∴F（4-5a，0），E（4-5a，3a）
∵点E在抛物线上，∴3a=-（4-5a）²+3（4-5a）+4，
解得a=0（舍）或

22

25

，
∴E（-

2

5

，

66

25

）．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、用配方法求二次函数的最值问题、解一元二次方程、勾股定理的运用、锐角三角函数的运用，解题的难点在第三问，突破口是正确的求出F和E点的坐标．