Question

如图，已知抛物线P：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

x	…	-3	-2	1	2	…
y	…	- 5 2	-4	- 5 2	0	…

（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k•DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据图表可以得到，抛物线经过的四点的坐标，根据待定系数法，设y=ax²+bx+c把其中三点的坐标，就可以解得函数的解析式．进而就可以求出A、B、C的坐标．
（2）易证△ADG∽△AOC，AD=2-m，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以用m表示出DG的长，再根据△BEF∽△BOC，就可以表示出BE，就可以得到OE，因而ED就可以表示出来．因而S与m的函数关系就可以得到．
（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，就是函数的值是最大值时，根据二次函数的性质就可以求出相应的m的值．则矩形的四个顶点的坐标就可以求出，根据待定系数法就可以求出直线DF的解析式．就可以求出直线DF与抛物线的交点的坐标，根据FM=k•DF，就可以表示出M的坐标，把M的坐标代入函数就可以得到一个关于k的方程，求出k的值，判断是否满足函数的解析式．

解答：解：（1）解法一：设y=ax²+bx+c（a≠0），
任取x，y的三组值代入，求出解析式y=

1

2

x²+x-4，
令y=0，求出x₁=-4，x₂=2；
令x=0，得y=-4，
∴A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．
解法二：由抛物线P过点（1，-

5

2

），（-3，-

5

2

）可知，
抛物线P的对称轴方程为x=-1，
又∵抛物线P过（2，0）、（-2，-4），
∴由抛物线的对称性可知，
点A、B、C的坐标分别为A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．

（2）由题意，

AD

AO

=

DG

OC

，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，
又

BE

BO

=

EF

OC

，EF=DG，得BE=4-2m，
∴DE=3m，
∴S_DEFG=DG•DE=（4-2m）3m=12m-6m²（0＜m＜2）．

（3）∵S_DEFG=12m-6m²（0＜m＜2），
∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．
当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，-2），F（-2，-2），E（-2，0），
设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=

2

3

，b=-

2

3

，
∴y=

2

3

x-

2

3

，
又可求得抛物线P的解析式为：y=

1

2

x²+x-4，
令

2

3

x-

2

3

=

1

2

x²+x-4，可求出x=

-1± 61

3

．
设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为

-1- 61

3

，过N作x轴的垂线交x轴于H，
有

FN

DF

=

HE

DE

=

-2- -1- 61   3

3

=

-5+ 61

9

，
点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是
k≠

-5+ 61

9

且k＞0．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，并且本题还考查了函数交点坐标的求法．就是求函数的解析式组成的方程组．