Question

3．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为2-$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC的面积，本题得以解决．

解答 解：由题意可得，如右图所示
存在两种情况，
当△ABC为△A₁BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA₁⊥BC于点D，
∴CD=1，OD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△A1BC=$\frac{1}{2}$BC•A₁D=2-$\sqrt{3}$，
当△ABC为△A₂BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA₁⊥BC于点D，
∴CD=1，OD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△A2BC=$\frac{1}{2}$BC•A₂D=$\frac{2（2+\sqrt{3}）}{2}$=2+$\sqrt{3}$，
由上可得，△ABC的面积为2-$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$，
故答案为2-$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．