Question

【题目】已知：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，动点E在边AB上（点E不与点A，B重合）, 动点F在射线AC上，连结DE, DF.

(1)如图1，当∠DEB=∠DFC=90°时，直接写出DE与DF的数量关系;

(2)如图2，当∠DEB+∠DFC=180°(∠DEB≠∠DFC)时，猜想DE与DF的数量关系，并证明；

(3)当点E,D,F在同一条直线上时，

①依题意补全图3；

②在点E运动的过程中，是否存在EB=FC？ （ 填“存在”或“不存在” ）.

Answer 1

【答案】（1）DE=DF；（2）DE=DF；证明见解析；（3）①见解析，②不存在

【解析】

（1）证明△BED≌△CFD，利用全等三角形的对应边相等即可得出结论；

（2）连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，根据同角的补角相等，得出∠GED=∠DFC，根据等腰三角形三线合一的性质得到∠BAD=∠CAD，再根据角平分线的性质得出DG=DH，即可证明△EGD≌△FHD，从而得出结论；

（3）①根据题意补全图形即可；

②假设BE=CF．过E作EG∥AC交BC于G．证明△EGD≌△FCD，得到GD=CD，进而得到G与B重合．由BE与AC相交于点A，与EG∥AC矛盾，得出BE=CF不成立，从而得到结论．

（1）DE与DF的数量关系是DE=DF．理由如下：

∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵D是BC的中点，∴BD=CD．

在△BED和△CFD中，∵∠B=∠C，∠DEB=∠DFC=90°，BD=CD，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE=DF．

（2）猜想：DE与DF的数量关系是DE=DF．理由如下：

连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，

∴∠EGD=∠FHD=90°．

∵∠DEB+∠GED=180°，

∠DEB+∠DFC=180°，

∴∠GED=∠DFC．

∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠BAD=∠CAD．

∵DG⊥AB，DH⊥AC，

∴DG=DH．

在△EGD和△FHD中，

∵，

∴△EGD≌△FHD，

∴DE=DF．

（3）①作图如下：

②不存在．理由如下：

假设BE=CF．过E作EG∥AC交BC于G．

∵EG∥AC，∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD．

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠EGB，

∴BE=EG．

∵BE=CF，

∴EG=CF．

在△EGD和△FCD中，

∵∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，EG=FC，

∴△EGD≌△FCD，

∴GD=CD．

∵BD=CD，

∴BD=GD，

∴G与B重合．

∵BE与AC相交于点A，与EG∥AC矛盾，

∴BE=CF不成立，

∴在点E运动的过程中，不存在EB=FC．