Question

6．关于x的方程k²x²-（k+1）²x+k²+1=0至少有一个整数根，则整数k可以是0．

Answer 1

分析 分k=0和k≠0两种情况考虑．当k=0时可求出x的值，从而得出k=0符合题意；当k≠0时，由方程有解结合根的判别式即可得出△=-（3k²-1）（k²+1）≥0，由此可得出3k²-1≤0，结合k为整数且非零可知该不等式无解．综上即可得出结论．

解答 解：当k=0时，有x+1=0，
解得：x=-1，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，关于x的方程k²x²-（k+1）²x+k²+1=0为一元二次方程，
∵关于x的方程k²x²-（k+1）²x+k²+1=0有实数根，
∴△=（k+1）⁴-4k²（k²+1）=-3k⁴-2k²+1=-（3k²-1）（k²+1）≥0，
∴3k²-1≤0，k²+1≥0，
∴k²$≤\frac{1}{3}$，
∵k为整数，且k≠0，
∴不等式k²$≤\frac{1}{3}$无解．
综上所述：整数k的值为0．

点评 本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及一元二次不等式，解题的关键是分k=0和k≠0两种情况考虑．