Question

5．已知关于x的一次方程x²-（2k+4）x+k²+4k+3=0
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）设Rt△ABC两直角边的长是此一元二次方程的两个根，AB+AC=2k+4，AB•AC=k²+4k+3，斜边BC的长为10，试求Rt△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=4＞0，由此即可证出结论；
（2）根据勾股定理结合AB+AC=2k+4、AB•AC=k²+4k+3即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k值，进而可得出AB+AC的值，再根据三角形的周长公式即可求出Rt△ABC的周长．

解答 （1）证明：∵在方程x²-（2k+4）x+k²+4k+3=0中，△=[-（2k+4）]²-4（k²+4k+3）=4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：在Rt△ABC中，斜边BC的长为10，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{（AB+AC）^{2}-2AB•AC}$=$\sqrt{（2k+4）^{2}-2（{k}^{2}+4k+3）}$=10，
整理，得：k²+4k-45=0，
解得：k=-9或k=5．
当k=-9时，AB+AC=2k+4=-14＜0，不合适；
当k=5时，AB+AC=2k+4=14，
∴Rt△ABC的周长为14+10=24．

点评 本题考查了根的判别式、勾股定理以及根与系数的关系，利用勾股定理结合根与系数的关系求出k值是解题的关键．