Question

如图，△ABC中，点P是AC边上一个动点，过P作直线EF∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角∠ACD平分线于点F．

（1）请说明：PE=PF；
（2）当点P在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？为什么？
（3）在（2）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？
（4）当点P在边AC上运动时，四边形AECF可能是菱形吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先证明∠E=∠2根据等角对等边可得EP=PC，同理可得PF=PC，进而得到EP=PF；
（2）当点P在AC中点时，四边形AECF是矩形，首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，再证明∠ECF=90°即可；
（3）利用已知得出AC⊥EF，结合正方形的判定得出即可；
（4）利用菱形的判定得出即可．

解答：解：（1）∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
∵EF∥BC，
∴∠E=∠1，
∴∠E=∠2，
∴EP=PC，
同理PF=PC，
∴EP=PF；

（2）当点P在AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵PA=PC，PE=PF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵∠ECF=

1

2

∠BCD=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；

（3）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是正方形；

（4）四边形AECF不可能是菱形，
∵∠ECF=90°，
∴EF＞CF，
∴四边形AECF不可能是菱形．

点评：此题主要考查了矩形的判定和正方形的判定以及菱形的判定等知识，熟练利用它们之间的区别和联系得出是解题关键．