Question

直线y=kx+b经过点A（0，1），B（-3，0），点P是这条直线上的一个动点，以P为圆心的圆与x轴相切于点C．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设点P的横坐标为t，若⊙P与y轴相切，求t的值；
（3）是否存在点P，使⊙P与y轴两交点间的距离恰好等于2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可以用待定系数法确定直线AB的解析式；
（2）根据P为圆心的圆与x轴相切，也与y轴相切得到它到两坐标轴的距离相等，设P的横坐标为t，就可以列出关于t的方程，解方程就可以求出t；
（3）如图，首先根据垂径定理得M是CD的中点，然后根据勾股定理计算t的值就可以求出t了．

解答：解：（1）直线AB的解析式为y=kx+b，
∴

1=b 0=-3k+b

，
∴k=

1

3

，b=1，
∴y=

1

3

x+1；

（2）设P（t，

1

3

t+1），
∵以P为圆心的圆与x轴相切，且⊙P与y轴相切，
∴t=

1

3

t+1或-t=

1

3

t+1，
∴t=

3

2

或t=-

3

4

；

（3）假设P点存在，
设其坐标为：P（t，

1

3

t+1），
过P作PM⊥CD于M，PN⊥x轴于N，连接PC，
则PN=PC=

1

3

t+1，PM=t，根据已知CD=2，则CM=1，
∴PC²=PM²+CM²，
∴(

1

3

t+1)2=t2+12，
∴t₁=0，t₂=

3

4

，
∴P（0，1）或P（

3

4

，

5

4

）．

点评：此题把圆的知识与一次函数，勾股定理结合起来，综合考查了这几方面的知识，有一定的综合性．