Question

如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N，设AE=x．
（1）试用含x的式子表示BM；
（2）求证：MN=BE；
（3）设四边形ADNM的面积为S，求S关于x的函数关系式．

Answer 1

解：（1）连接ME，根据题意，得MB=ME，
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=2-AM，
∴（2-AM）²=x²+AM²，
解得AM=1-x²，
∴BM=2-AM=2-（1-x²）=x²+1；

（2）设MN交BE于P，根据题意，得MN⊥BE，
过N作AB的垂线交AB于F，在Rt△AEB和Rt△MNF中，
∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠MNF，
又AB=FN，∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MN=BE；

（3）由（1）有AM=1-x²，
由（2）△EBA≌△MNF，
∴EA=MF，∴DN=AF=AM+MF=AM+AE，
∴四边形ADNM的面积S=×AD=×2
=2AM+AE
=2（1-x²）+x
=-x²+x+2，
即所求关系式为S=-x²+x+2．
分析：解答此题需要运用正方形的性质，勾股定理和线段垂直平分线的性质解答，解答此题的关键是连接ME，构造出直角三角形再解答．
点评：此题的综合性比较强，涉及到正方形的性质，勾股定理和线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是连接ME，过N作NF∥BC把问题转化成解直角三角形的问题．