Question

如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，E为BC上一点，且AB=CE，CD=BE．
（1）求证：∠AED=90°；
（2）若EN平分∠AED交AD于N，试判断△BCN的形状并证明；
（3）在（2）问的条件下，猜想：△MBC与四边形ABCD的面积有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过证明△ABE≌△ECD，推出∠AEB=∠EDC，再由∠EDC+∠DEC=90°，等量代换可得∠AEB+∠DEC=90°，根据补角的性质即可推出结论，
（2）由（1）的结论，可得AE=DE，∠BAE=∠DEC，推出△AED为等腰直角三角形，再由EN平分∠AED，推出∠BAN=∠CEN，AN=EN，通过求证△BAN≌△CEN，可得NB=NC，∠ANB=∠ENC，然后根据∠ANB+∠BNE=90°，等量代换后求得∠ENC+∠BME=90°，推出△BNC为等腰直角三角形；
（3）作NM⊥BC，根据（2）所推出的结论即可推出MN 为梯形ABCD的中位线，为△BNC斜边上的高，然后根据等腰直角三角形和梯形的面积公式，即可推出它们面积之间的等量关系．

解答：（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠ECD=90°，
∵在△ABE和△ECD中，

AB=CE ∠ABE=∠ECD CD=BE

，
∴△ABE≌△ECD（SAS），
∴∠AEB=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°；

（2）解：△BCN为等腰直角三角形，
证明：∵△ABE≌△ECD，
∴AE=DE，∠BAE=∠DEC，
∵∠AED=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∵EN平分∠AED，
∴∠NED=∠NAE=45°，EN⊥AD，
∴∠BAN=∠CEN，AN=EN，
∵在△BAN和△CEN中，

AB=EC ∠BAN=∠CEN AN=EN

，
∴△BAN≌△CEN（SAS），
∴NB=NC，∠ANB=∠ENC，
∵∠ANB+∠BNE=90°，
∴∠ENC+∠BME=90°，
∴△BNC为等腰直角三角形；

（3）解：2S_△BNC=S_梯形ABCD．理由如下：
作NM⊥BC，
∵△AED为等腰直角三角形，EN平分∠AED，
∴N点为AD的中点，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，NM⊥BC，
∴AB∥CD∥MN，
∴M点为BC的中点，
∴MN为梯形ABCD的中位线，NE⊥BC，
∴S_△BNC=BC•NE•

1

2

，
S_梯形ABCD=BC•NE，
∴2S_△BNC=S_梯形ABCD．

点评：本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，角平分线的性质、平行线的性质、梯形的面积公式、等腰直角三角形的面积公式，关键在于熟练地运用相关的性质定理推出相等的角和边，推出三角形全等，正确的运用相关的公式．