Question

5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx²+nx相交于A（1，3$\sqrt{3}$），B（4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S_△BCN、S_△PMN满足S_△BCN=2S_△PMN，求出$\frac{MN}{NC}$的值，并求出此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；
（3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC=a，则可用a表示出CN，再利用S_△BCN=2S_△PMN，可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得$\frac{MN}{NC}$的值；借助a可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标．

解答 解：
（1）∵A（1，3$\sqrt{3}$），B（4，0）在抛物线y=mx²+nx的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3\sqrt{3}}\\{16m+4n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\sqrt{3}}\\{n=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\sqrt{3}$x²+4$\sqrt{3}$x；
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵A（1，3$\sqrt{3}$），
∴D坐标为（1，0）；
当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD²=1+（3$\sqrt{3}$-d）²，BD²=4²+d²，且AB²=（4-1）²+（3$\sqrt{3}$）²=36，
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，
∴AD²+BD²=AB²，即1+（3$\sqrt{3}$-d）²+4²+d²=36，解得d=$\frac{3\sqrt{3}±\sqrt{11}}{2}$，
∴D点坐标为（0，$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2}$）或（0，$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{11}}{2}$）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2}$）或（0，$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{11}}{2}$）；
（补充方法：可用A，B点为直径作一个圆，圆与坐标轴的交点即为答案）
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，

∵PM∥OA，
∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴$\frac{MF}{PF}$=$\frac{AD}{OD}$=3$\sqrt{3}$，
∴MF=3$\sqrt{3}$PF，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABD=$\sqrt{3}$，
∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=$\sqrt{3}$a，
在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，
∴tan∠PNF=$\frac{PF}{FN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴FN=$\sqrt{3}$PF，
∴MN=MF+FN=4$\sqrt{3}$PF，
∵S_△BCN=2S_△PMN，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²=2×$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$PF²，
∴a=2$\sqrt{2}$PF，
∴NC=$\sqrt{3}$a=2$\sqrt{6}$PF，
∴$\frac{MN}{NC}$=$\frac{4\sqrt{3}PF}{2\sqrt{6}PF}$=$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{2}$NC=$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$a=$\sqrt{6}$a，
∴MC=MN+NC=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）a，
∴M点坐标为（4-a，（$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）a），
又M点在抛物线上，代入可得-$\sqrt{3}$（4-a）²+4$\sqrt{3}$（4-a）=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）a，
解得a=3-$\sqrt{2}$或a=0（舍去），
OC=4-a=$\sqrt{2}$+1，MC=2$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$，
∴点M的坐标为（$\sqrt{2}$+1，2$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定和性质、点与函数图象的关系及分类讨论等．在（2）中注意分点D在x轴和y轴上两种情况，在（3）中分别利用PF表示出MF和NC是解题的关键，注意构造三角形相似．本题涉及知识点较多，计算量较大，综合性较强，特别是第（3）问，难度很大．