精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

任何一个单位分数 $数学公式$ 都可以写成两个单位分数的和： $数学公式$ （n，p，q都是正整数）．显然，这里的p，q都大于n．如果设p=n+a，q=n+b，那么有 $数学公式$ ．
（1）探索上式中的正整数a，b与正整数n之间存在什么样的关系（写出推理过程）；
（2）请利用（1）中的结论，分别写出 $数学公式$ ， $数学公式$ 等于两个单位分数之和的所有可能情况；
（3）我国宋朝数学家杨辉早在1261年的著作--《详解九章算法》十二卷里提出了如左下图所示的“杨辉三角形”，请观察杨辉三角形的特点，由单位分数能否能垒成类似的“单位分数三角形”？如果能，试在右下图中写第二、三、四行．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，
可得（n+a）（n+b）=n（n+a）+n（n+b），
化简后有ab=n²，
（2）当n=2时，ab=2²=4，于是有a=1或2，b=4或2，
因此 $\text{[math]}$ ，
当n=3时，ab=3²=9，于是有a=1或3，b=9或3，
因此 $\text{[math]}$ ；
（3）

分析：（1）分式的两边都乘以n（n+a）（n+b），再整理可得ab=n²；
（2）当n=2时，可求a、b的所有可能数值，从而可求 $\text{[math]}$ 分成两个单位分数和的所有情况，同理可求 $\text{[math]}$ 分成两个分数和的所有情况；
（3）能，结合（2）中的计算，可知第二行有两个分数，且都等于 $\text{[math]}$ ，第三行有3个分数，第一个与第三个都等于 $\text{[math]}$ ，第二个等于 $\text{[math]}$ ，第四行依次是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其它行也依此类推．
点评：本题考查了分式的混合运算．解题的关键是把分式化成整式计算．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>