Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），D（0，1）的坐标代入即可；
（2）由直线AD与x轴的交点为（-2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到$\frac{BD}{BC}=\frac{BO}{BE}=\frac{OD}{CE}$或$\frac{OB}{BC}=\frac{OD}{CE}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），D（0，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}k+b=\frac{5}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
故直线AD的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+1；

（2）∵直线AD与x轴的交点为（-2，0），
∴OB=2，
∵点D的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=-x+3与x轴交于点C（3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD与△BEC相似，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BO}{BE}=\frac{OD}{CE}$或$\frac{OB}{BC}=\frac{OD}{CE}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2}{BE}$=$\frac{1}{CE}$或$\frac{2}{5}=\frac{1}{CE}$，
∴BE=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{5}$，或CE=$\frac{5}{2}$，
∵BC•EF=BE•CE，
∴EF=2，CF=$\sqrt{C{E}^{2}-E{F}^{2}}$=1，
∴E（2，2），或（3，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．