Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线y=x+3与x、y轴分别相交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，且∠CAO=30°，点D在线段AC的延长线上，且CD=CO，连接OD、BD，BD交x轴于点E．
（1）求直线AC的解析式；
（2）求证：OB=OD；
（3）图中有几对相似三角形（不添加其他字母和线段）请写出所有的相似三角形，并选择其中的一对加以证明．

Answer 1

解：（1）由题意得，A（-3，0），B（0，3），
∵∠CAO=30°，OA=3，
∴，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴，解得
∴直线AC的解析式是．

（2）∵CO=CD，∠ACO=90°-30°=60°，
∴∠ODA=30°=∠CAO．
∴OD=OA．
∵OA=OB，
∴OB=OD．

（3）存在4对相似三角形：△ODC∽△ADO，△BAC∽△DAB∽△AEB，证明如下：
①∵CO=CD，∠ACO=90°-30°=60°，
∴∠COD=∠OAD=30°，
而∠ODC=∠ADO，
∴△ODC∽△ADO，
②∵OB=OD，∠COD=30°，
∴∠ODB=∠OBD=15°，
∴∠ADB=∠CDO+∠ODB=30°+15°=45°，
∴∠ADB=∠ABC=45°，
而∠BAC=∠DAB，
∴△BAC∽△DAB．
分析：（1）依题意可得点A，B的坐标．易求出OC的长以及点C的坐标．设直线AC的解析式为y=kx+b，把已知坐标代入可求出直线AC的解析式．
（2）根据CO=CD推出OD=OA=OB，故可得OB=OD．
（3）本题考查的是相似三角形的判定．
点评：本题考查的是利用待定系数法求一次函数解析式以及相似三家形的判定定理，难度中等．