Question

如图，?ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=

1

2

CD．
（1）求证：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面积为2，求?ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）要证△ABF∽△CEB，需找出两组对应角相等；已知了平行四边形的对角相等，再利用AB∥CD，可得一对内错角相等，则可证．
（2）由于△DEF∽△EBC，可根据两三角形的相似比，求出△EBC的面积，也就求出了四边形BCDF的面积．同理可根据△DEF∽△AFB，求出△AFB的面积．由此可求出?ABCD的面积．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C，AB∥CD
∴∠ABF=∠CEB
∴△ABF∽△CEB

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB平行且等于CD
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF
∵DE=

1

2

CD
∴

S△DEF

S△CEB

=(

DE

EC

)2=

1

9

，

S△DEF

S△ABF

=(

DE

AB

)2=

1

4

∵S_△DEF=2
S_△CEB=18，S_△ABF=8，
∴S_{四边形BCDF}=S_△BCE-S_△DEF=16
∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形BCDF}+S_△ABF=16+8=24．

点评：本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．