Question

16．已知抛物线y=ax²（a＞0），直线l：y=kx-2k，直线l与x轴交于点M，与抛物线交于唯一的公共点A（异于点O），且满足：MA=2$\sqrt{5}$，直线MQ与抛物线交于P、Q两点，与直线OA交于点N
（1）直接写出直线l经过的某定点的坐标；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）试问$\frac{MN}{MP}$+$\frac{MN}{MQ}$的值是否为定值？若是，请求出定值；若不是说明理由．

Answer 1

分析 （1））y=（x-2）k，推出x=2时，y=0，推出直线l经过的某定点的坐标（2，0），即点M（2，0）．
（2）设A（m，km-2k）．想办法构建方程组即可解决问题．
（3）设直线MQ的解析式为y=nx+b，把M（2，0）代入得到，b=-2n，推出y=nx-2n．设Q（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=nx-2n}\end{array}\right.$消去y得到x²-4nx+8n=0，可得x₁+x₂=4n，x₁x₂=8n，y₁+y₂=n（x₁+x₂）-4n=4n²-4n，y₁y₂=$\frac{1}{16}$（x₁x₂）²=4n²，由直线OA的解析式为y=x，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=nx-2n}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2n}{n-1}}\\{y=\frac{2n}{n-1}}\end{array}\right.$，推出N（$\frac{2n}{n-1}$，$\frac{2n}{n-1}$），由$\frac{MN}{MP}$=$\frac{{N}_{y}}{{P}_{y}}$，$\frac{MN}{MQ}$=$\frac{{N}_{y}}{{Q}_{y}}$，推出$\frac{MN}{MP}$+$\frac{MN}{MQ}$=N_y（$\frac{{Q}_{y}+{P}_{Y}}{{Q}_{y}{P}_{y}}$）=$\frac{2n}{n-1}$•$\frac{4{n}^{2}-4n}{4{n}^{2}}$=2，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=（x-2）k，
∴x=2时，y=0，
∴直线l经过的某定点的坐标（2，0），即点M（2，0）．

（2）设A（m，km-2k）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}}\\{y=kx-2k}\end{array}\right.$，消去y得到ax²-kx+2k=0，由题意△=0，即k²-8ak=0，
∵k≠0，
∴k=8a，
由题意$\left\{\begin{array}{l}{k=8a}\\{km-2k=a{m}^{2}}\\{（m-2）^{2}+（km-2k）^{2}=20}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{m=4}\\{a=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{m=4}\\{a=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$（舍弃），
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²．

（3）设直线MQ的解析式为y=nx+b，把M（2，0）代入得到，b=-2n，
∴y=nx-2n．设Q（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=nx-2n}\end{array}\right.$消去y得到x²-4nx+8n=0，
∴x₁+x₂=4n，x₁x₂=8n，
y₁+y₂=n（x₁+x₂）-4n=4n²-4n，y₁y₂=$\frac{1}{16}$（x₁x₂）²=4n²
∵直线OA的解析式为y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=nx-2n}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2n}{n-1}}\\{y=\frac{2n}{n-1}}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{2n}{n-1}$，$\frac{2n}{n-1}$），
∵$\frac{MN}{MP}$=$\frac{{N}_{y}}{{P}_{y}}$，$\frac{MN}{MQ}$=$\frac{{N}_{y}}{{Q}_{y}}$，
∴$\frac{MN}{MP}$+$\frac{MN}{MQ}$=N_y（$\frac{{Q}_{y}+{P}_{Y}}{{Q}_{y}{P}_{y}}$）=$\frac{2n}{n-1}$•$\frac{4{n}^{2}-4n}{4{n}^{2}}$=2．
∴$\frac{MN}{MP}$+$\frac{MN}{MQ}$的值为2．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的性质、二元一次方程组，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．